(八十五)中西方数学中的“绝对误差”与“相对误差”(绝对误差与相对误差用什么字母表示)

那么,对于这种不同与相同,是否可以通过更简单的数字化表达方法来进行一下概括与总结呢?

在数学范畴内,大家对(绝对与相对)这两个词汇并不陌生。西方数学在实数认识范畴内,出现了(正数与负数)的概念。(正数与负数)颁布在原点的两侧不同方向的直线上。由于它们的方向不同,所以,用正、负来进行区分。被区分为正负属性差异的两种数字,是相对于“0”原点对称的。这样就需要一个新的数值来表达这个数字到原点的距离。并一个数字到原点的距离称为绝对值。

实数a的绝对值记作|a|,它是指:当a≥0时,|a|=a;当a<0时,|a|=-a。(它在数轴上表示与a对应的点到原点的距离)。复数z的绝对值亦称“复数的模”。复数z=a bi的绝对值|z|=√a² b²。在复数平面上,它表示点z(a,b)到原点的距离。

显然,绝对值表达的内容,客观存在的距离。

那么,相对值在现代西方数学中,就是相对误差相对误差绝对误差与准确数值之间的比。

那么,什么是绝对误差呢?

绝对误差表示某个量的准确数值其近似数值之差的绝对值,称为“绝对误差”。

因此,误差可以是大于准确数的近似数与准确数的差,也可以是小于准确数的近似数与准确数的差。

当近似数大于准确数的时候,近似数等于准确数 误差;
当近似数小于准确数的时候,近似数等于准确数-误差。
精确误差的确定,就要通过误差绝对值的方法确定出“绝对误差”。

中西方对误差中的相对性认识是不同的。如“榫卯之学”的“榫是榫,卯是卯”的属性认识论与方法论,与现代西方数学的精确数值与绝对误差的认识方法相比较,是有重大差异的。

现代西方数学的“相对误差”,产生于绝对误差与准确数之比,称为“相对误差”。一般情况下,使用“相对误差”能更确切地表示近似值的近似程度,便于比较几个近似数值的精确度。但是,这种“相对误差”的计算,必需首先要确定一个“准确数值”的存在。

在“榫卯之学”中,对“相对误差”的认识,与西方现代数学中的相对误差概念并不是一个认识方法层面上的问题。

在现代西方数学中,“绝对误差”与“准确数值”之比被称为“相对误差”。“绝对误差”则是近似值与准确值之间的差。所以,无论是“绝对误差”还是“相对误差”的计算,都需要具备一个先决条件,就是“准确数值”的先行给出。

在现实生活现代的科学实验中,准确数值的先行给出,只是一件理论上的事。而通过实际测量与计算得到的结果,通常都不可能达到理论上的精确程度。即,通常实际测量计算得到的数据,都是在一定范畴中的近似值。

圆周率表达一个圆的圆周长与直径的比值。它虽然是一个常数,但是,只能用“π”表示。却无法找到它的准确数值。

中国数学家刘徽割圆术求得π≈3.14,称为徽率”。

南北朝数学家祖冲之算出3.1415926<π<3.1415927,并以227作为“约率”,355113为“密率”。

近代电子计算机出现后,“π”的近似值精确度大大提高。现代西方数学已经证明:“π”是“无理数”,也是“超越数”。

那么,什么是“超越数”呢?

“超越数”在现代西方数学中被定义为“不满足任何整系数代数方程的数”。如圆周率π、自然对数的底e等。现代西方数学可以证明“超越数”有无穷多个。
“超越数”必定是“无理数”;
反之,“无理数”却未必是“超越数”。
因为,“无理数”是一种无限不循环小数。任何“无理数”都不能表示成两个整数之比。

早在公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯学派就已通过不可公度量(如正方形边长与其对角线长之比),发现了“无理数”。但其严格定义,直到19世纪才由戴德金康托尔等人建立。

这样,现代西方数学在“相对误差”与“绝对误差”认识的范畴中,就出现了一个“相对误差”无法存在的数值领域。它随着准确数值的无法正确的确定,在绝对误差的认定范畴中也出现了不可计算性。因此,准确数值、绝对误差、相对误差都变成了一个在数学领域中“局限性可应用”的数学理论,而不具有对所有近似值进行精确度比对的通用功能。
即,在一般情况下,使用相对误差并不能更确切地表示近似值的近似程度,更不能比较几个近似数在没有准确数产生的条件下的精确度。因为,相对误差的计算,必需首先确定一个准确数的存在。而世界上的很多事物的准确数值,并不能在有理数范畴内存在。如圆周率而言,任何有限数字表达都是近似值。也即,任何有限数字的表达值都存在着误差。而这种近似值所展示的绝对误差,是有限数字的表达值无法准确确定的。

因为不知道π的准确数值,所以,绝对误差无法计算。因此,相对误差也就变成了既不知道准确数值,也不知道绝对误差值的两个未知数的比。对两个未知数的比如何计算,使现代西方数学走进了数学定义无法破解的一个认识“盲区”。

那么,中国古代数学是如何来定义“绝对误差”与“相对误差”的呢?

圆周率而言,勾股径之间的关联关系,圆出于方认识的开始。“圆出于方,方出于矩”。勾股径之变,矩变而成方,方变而成圆的数值变化过程。所以,“方切于圆、方接于圆”的两个勾股径变化关系,则圆周率计算的最源头的起始。

尽管人们不知道圆周率π的准确数值。但是,人们可以确定3<π<4。3与4,都是圆周率的近似值。两个近似值之间,存在一种(盈余与亏损)的关系。4盈余、3亏损。因此,(盈余与亏损)之间,就形成了一个有准确数值可确定的存在范畴。即,它必然存在于3与4之间。古人把这(盈余和亏损)两个属性所确定的量值范畴,称为相对误差发生区间,也称其为相对属性形成的误差为1。这个区间则为相对误差区间。

那么,什么是绝对误差呢?

即,当确定3.1<π<3.2的时候,
4的(盈余误差)就是0.8,
3的(亏损误差)就是0.1。
分别称其为4的盈余绝对误差0.8,

3的亏损绝对误差0.1。

这样,相对误差绝对误差之间,就形成了一个可以互相转换的关联关系。即,
下一个数位的相对误差上一个数位的相对误差之间,可以产生上一个数位的绝对误差
上一个数位的绝对误差,又可以变成下一个数位的相对误差
相对与绝对,处在一个不断变化的过程之中。

由此可以看出,中西方数学对相对误差、绝对误差的认识序次是不同的。
西方数学先认识误差的绝对性,有了绝对性条件后再继续去认识相对性。
中国古代数学的“榫卯之学”,则先认识“误差”的盈余与亏损的相对性,然后,再连续认识盈余与亏损相对性之后,产生下一个数位盈余误差、亏损误差对上一个数位的盈余误差、亏损误差的绝对性。这样,就形成了绝对与相对连续变化的连贯性。这是中国古代认识自然事物的运动抑扬、更相动薄的根本数学方法

其实,现代机械加工业所采用的制度,仍然是建立在现代西方数学绝对误差相对误差定义条件下的一种度量制度。但是,中国的生产工人还有很大一批人在使用中国的“榫卯之学”的方法,仍然把产品的度量制度划分为“盈余误差”“亏损误差”两个部分。并且,作上特殊的标记。这样,在总装装配的时候,中国的“四象术”就派上了大用场,产品的合格率就会成倍的提高。

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